1. 甲先输光的概率.

1.1 一些性质.

由第三章习题, $P\Bqty{T_{01} < \infty \mid X_0 = 0} = 1$.

由 $X_{T_{01}} = 1$ 知 $EX_{T_{01}} = 1 \ne EX_0 = 0$.

由 4.1.2 例 1, $\Bqty{X_n, n \ge 1}$ 关于 $\Bqty{Y_n, n \ge 1}$ 是鞅.

由定义, $T_{01}$ 关于 $\Bqty{Y_n, n \ge 1}$ 是停时.

若 $ET_{01} < \infty$, 则有定理 4.3.1 的推论知, $EX_{T_{01}} = EX_0 = 0$, 矛盾, 故 $ET_{01} = +\infty$.

1.2 甲先输光的概率.

易证 $P\Bqty{T < \infty \mid X_0 = 0} = 1$, 而 $\forall n \in \N \colon \vqty{X_{T \and n}} \le \max(\vqty{a}, b)$, 于是

于是由定理 4.3.1 知

令一方面,

于是

2. 任何一方输光的平均时间.

2.1 鞅的构造.

设 $Z_n = X_n^2 - n$, 则

2.1.1 绝对期望

2.1.2 条件期望

因此 $\Bqty{Z_n, n \ge 0}$ 关于 $\Bqty{Y_n, n \ge 0}$ 是鞅.

2.2 任何一方输光的平均时间.

由第三章习题, $T$ 为停时从而 $ET < \infty$.

从而由定理 4.3.1 的推论得

另一方面

从而

证毕.